من الآلاف إلى الملايين إلى المليارات إلى التريليونات إلى الكوادريليون وما بعدها: هل تنتهي الأرقام أبدًا؟

Curious Kids هي سلسلة للأطفال من جميع الأعمار. إذا كان لديك سؤال تريد أن يجيب عليه أحد الخبراء، فأرسله إلى Curiouskidsus@theconversation.com.

إليك لعبة: اطلب من صديق أن يعطيك أي رقم وستعيد لك رقمًا أكبر. ما عليك سوى إضافة “1” إلى أي رقم يتوصلون إليه وستكون الفوز مؤكدًا.

والسبب هو أن الأرقام تستمر إلى الأبد. لا يوجد أعلى رقم. لكن لماذا؟ كأستاذ في الرياضيات، يمكنني مساعدتك في العثور على إجابة.

أولاً، عليك أن تفهم ما هي الأرقام ومن أين أتت. لقد تعلمت عن الأرقام لأنها مكنتك من العد. كان لدى البشر الأوائل احتياجات مماثلة – سواء لحساب عدد الحيوانات التي قُتلت أثناء الصيد أو تتبع عدد الأيام التي مرت. ولهذا السبب اخترعوا الأرقام.

لكن في ذلك الوقت، كانت الأعداد محدودة جدًا وكان لها شكل بسيط جدًا. في كثير من الأحيان، كانت “الأرقام” مجرد شقوق على العظم، وتصل إلى بضع مئات على الأكثر.

عندما أصبحت الأرقام أكبر

ومع مرور الوقت، زادت احتياجات الناس. كان لا بد من إحصاء قطعان الماشية، وتداول السلع والخدمات، وإجراء قياسات للمباني والملاحة. وأدى ذلك إلى اختراع أعداد أكبر وطرق أفضل لتمثيلها.

منذ حوالي 5000 سنة، بدأ المصريون في استخدام الرموز للأرقام المختلفة، مع الرمز الأخير للمليون. نظرًا لأنهم لم يواجهوا عادةً كميات أكبر، فقد استخدموا أيضًا نفس الرمز النهائي لتصوير “كثير”.

كان الإغريق، بدءاً بفيثاغورس، أول من درسوا الأرقام لذاتها، بدلاً من اعتبارها مجرد أدوات للعد. باعتباري شخصًا ألف كتابًا عن أهمية الأرقام، لا أستطيع التأكيد بما فيه الكفاية على مدى أهمية هذه الخطوة بالنسبة للبشرية.

بحلول عام 500 قبل الميلاد، لم يدرك فيثاغورس وتلاميذه أن أرقام العد – 1، 2، 3 وما إلى ذلك – لا نهاية لها فحسب، بل أدركوا أيضًا أنه يمكن استخدامها لشرح أشياء رائعة مثل الأصوات التي تصدر عندما تنقر على وتر مشدود .

الصفر هو رقم حرج

ولكن كانت هناك مشكلة. على الرغم من أن اليونانيين كانوا قادرين على التفكير ذهنيًا بأعداد كبيرة جدًا، إلا أنهم واجهوا صعوبة في كتابتها. وذلك لأنهم لم يعرفوا عن الرقم 0.

فكر في مدى أهمية الصفر في التعبير عن الأعداد الكبيرة. يمكنك البدء بالرقم 1، ثم إضافة المزيد والمزيد من الأصفار في النهاية للحصول بسرعة على أرقام مثل مليون – 1,000,000، أو 1 متبوعًا بستة أصفار – أو مليار مع تسعة أصفار، أو تريليون، و12 صفرًا.

لم يصل الصفر إلى أوروبا إلا في حوالي عام 1200 بعد الميلاد، والذي تم اختراعه قبل قرون في الهند. وهذا أدى إلى الطريقة التي نكتب بها الأرقام اليوم.

يوضح هذا التاريخ الموجز أن الأرقام قد تطورت على مدى آلاف السنين. وعلى الرغم من أن المصريين لم يستخدموا المليون كثيرًا، إلا أننا نستخدمه بالتأكيد. سيخبرك الاقتصاديون أن النفقات الحكومية تقاس عادة بملايين الدولارات.

كما أن العلم أخذنا إلى نقطة حيث نحتاج إلى أعداد أكبر. على سبيل المثال، هناك حوالي 100 مليار نجم في مجرتنا – أو 100.000.000.000 – وقد يصل عدد الذرات في كوننا إلى 1 متبوعًا بـ 82 صفرًا.

لا تقلق إذا وجدت صعوبة في تصور مثل هذه الأرقام الكبيرة. من الجيد أن نفكر بهم على أنهم “كثيرون”، مثلما تعامل المصريون مع الأعداد التي تزيد عن المليون. تشير هذه الأمثلة إلى أحد الأسباب التي تجعل الأرقام تستمر إلى ما لا نهاية. إذا كان لدينا الحد الأقصى، فمن المؤكد أن بعض الاستخدامات أو الاكتشافات الجديدة ستجعلنا نتجاوزه.

استثناءات للقاعدة

لكن في ظل ظروف معينة، في بعض الأحيان يكون للأرقام حد أقصى لأن الأشخاص يصممونها بهذه الطريقة لغرض عملي.

وخير مثال على ذلك هو الساعة – أو حساب الساعة، حيث نستخدم فقط الأرقام من 1 إلى 12. لا توجد الساعة 13، لأننا بعد الساعة 12 نعود إلى الساعة 1 مرة أخرى. إذا لعبت لعبة “الرقم الأكبر” مع صديق في حساب الساعة، فسوف تخسر إذا اختار الرقم 12.

بما أن الأرقام هي اختراع بشري، فكيف نبنيها بحيث تستمر إلى ما لا نهاية؟ بدأ علماء الرياضيات في النظر في هذا السؤال منذ أوائل القرن العشرين. ما توصلوا إليه كان مبنيًا على افتراضين: أن 0 هو رقم البداية، وعندما تضيف 1 إلى أي رقم فإنك تحصل دائمًا على رقم جديد.

هذه الافتراضات تعطينا على الفور قائمة أرقام العد: 0 + 1 = 1، 1 + 1 = 2، 2 + 1 = 3، وهكذا، وهو تقدم مستمر بلا نهاية.

قد تتساءل لماذا تعتبر هاتان القاعدتان من الافتراضات. السبب الأول هو أننا لا نعرف حقًا كيفية تعريف الرقم 0. على سبيل المثال: هل “0” هو نفسه “لا شيء”، وإذا كان الأمر كذلك، فما هو المقصود بالضبط بـ “لا شيء”؟

والثاني قد يبدو أكثر غرابة. ففي النهاية، يمكننا أن نبين بسهولة أن إضافة 1 إلى 2 يعطينا الرقم الجديد 3، تمامًا كما أن إضافة 1 إلى 2002 يعطينا الرقم الجديد 2003.

لكن لاحظ أننا نقول أن هذا ينطبق على أي رقم. لا يمكننا التحقق من ذلك بشكل جيد لكل حالة على حدة، حيث سيكون هناك عدد لا نهاية له من الحالات. باعتبارنا بشرًا لا يمكنهم تنفيذ سوى عدد محدود من الخطوات، علينا أن نكون حذرين في أي وقت نقوم فيه بتقديم ادعاءات حول عملية لا نهاية لها. ويرفض علماء الرياضيات، على وجه الخصوص، اعتبار أي شيء أمرا مفروغا منه.

هنا إذن الجواب على سبب عدم انتهاء الأرقام: إنه بسبب الطريقة التي نحددها بها.

الآن، الأرقام السلبية

كيف تتناسب الأرقام السالبة -1، -2، -3 وأكثر مع كل هذا؟ تاريخياً، كان الناس متشككين للغاية بشأن مثل هذه الأرقام، لأنه من الصعب تصور تفاحة أو برتقالة “ناقص واحد”. في أواخر عام 1796، حذرت كتب الرياضيات المدرسية من استخدام النفي.

تم إنشاء السلبيات لمعالجة مشكلة حسابية. الأرقام الموجبة جيدة عند إضافتها معًا. ولكن عندما تصل إلى الطرح، لا يمكنهم التعامل مع الاختلافات مثل 1 ناقص 2، أو 2 ناقص 4. إذا كنت تريد أن تكون قادرًا على طرح الأرقام حسب الرغبة، فأنت بحاجة إلى أرقام سالبة أيضًا.

هناك طريقة بسيطة لإنشاء أرقام سلبية وهي أن تتخيل جميع الأرقام – 0، 1، 2، 3 والباقي – مرسومة على مسافات متساوية على خط مستقيم. الآن تخيل مرآة موضوعة عند 0. ثم حدد -1 ليكون انعكاس +1 على الخط، -2 ليكون انعكاس +2، وهكذا. سينتهي بك الأمر بكل الأرقام السالبة بهذه الطريقة.

كمكافأة، ستعرف أيضًا أنه نظرًا لوجود عدد من السلبيات كما يوجد إيجابيات، فإن الأرقام السالبة يجب أن تستمر أيضًا بلا نهاية!

مرحبًا أيها الأطفال الفضوليون! هل لديك سؤال تود أن يجيب عليه أحد الخبراء؟ اطلب من شخص بالغ أن يرسل سؤالك إلى CuriousKidsUS@theconversation.com. من فضلك أخبرنا باسمك وعمرك والمدينة التي تعيش فيها.

وبما أن الفضول ليس له حد عمري – أيها البالغون، أخبرنا بما تتساءل عنه أيضًا. لن نتمكن من الإجابة على كل الأسئلة، لكننا سنبذل قصارى جهدنا.

تم إعادة نشر هذا المقال من The Conversation، وهي منظمة إخبارية مستقلة غير ربحية تقدم لك حقائق وتحليلات لمساعدتك على فهم عالمنا المعقد.

كتب بواسطة: مانيل سوري، جامعة ميريلاند، مقاطعة بالتيمور.

اقرأ أكثر:

لا يعمل مانيل سوري لدى أي شركة أو مؤسسة أو يستشيرها أو يمتلك أسهمًا فيها أو يتلقى تمويلًا منها قد تستفيد من هذه المقالة، ولم يكشف عن أي انتماءات ذات صلة بعد تعيينه الأكاديمي.