تم نشر هذه المقالة في الأصل على المحادثة. ساهم المنشور بالمقال في موقع ProfoundSpace.org أصوات الخبراء: افتتاحية ورؤى.
ناثان براونلو، محاضر أول في كلية الرياضيات والإحصاء في جامعة سيدني.
قبل أسبوعين ، تم تحميل ورقة ذات مظهر متواضع على خادم ما قبل الطباعة arXiv بعنوان متواضع “حول مشكلة الفضاء الجزئي الثابت في مساحات هلبرت”. تتكون الورقة من 13 صفحة فقط وتحتوي قائمة المراجع الخاصة بها على إدخال واحد فقط.
تزعم الورقة أنها تحتوي على القطعة الأخيرة من أحجية الصور المقطوعة التي كان علماء الرياضيات ينتقون عنها منذ أكثر من نصف قرن: مشكلة الفضاء الجزئي الثابت.
غالبًا ما تجذب المشكلات المفتوحة الشهيرة محاولات طموحة لإيجاد حلول من قبل شخصيات مثيرة للاهتمام لتكوين أسمائهم. لكن مثل هذه الجهود عادة ما يسقطها الخبراء بسرعة.
ومع ذلك ، فإن مؤلف هذه المذكرة القصيرة ، عالم الرياضيات السويدي بير إنفلو ، ليس صاعدًا وطموحًا. يبلغ من العمر 80 عامًا تقريبًا ، وقد صنع لنفسه اسمًا في حل المشكلات المفتوحة ، وله تاريخ طويل مع المشكلة المطروحة.
حسب Enflo: الرياضيات والموسيقى والإوزة الحية
ولد Enflo في عام 1944 ، وهو الآن أستاذ فخري في جامعة ولاية كينت بولاية أوهايو ، وكان يتمتع بمهنة رائعة ، ليس فقط في الرياضيات ولكن أيضًا في الموسيقى.
إنه عازف بيانو مشهور قام بأداء العديد من حفلات البيانو وتسجيلها ، كما قدم أداءً منفردًا مع فرق الأوركسترا في جميع أنحاء العالم.
Enflo هي أيضًا واحدة من أكبر الحلول للمشكلات في مجال يسمى التحليل الوظيفي. بصرف النظر عن عمله على مشكلة الفضاء الجزئي الثابت ، حل Enflo مشكلتين رئيسيتين أخريين – المشكلة الأساسية ومشكلة التقريب – وكلاهما ظل مفتوحًا لأكثر من 40 عامًا.
من خلال حل مشكلة التقريب ، حل Enflo لغزًا مكافئًا يسمى مشكلة أوزة Mazur. كان عالم الرياضيات البولندي ستانيسواف مازور قد وعد في عام 1936 بإوزة حية لأي شخص حل مشكلته – وفي عام 1972 حافظ على كلمته ، حيث قدم الإوزة إلى Enflo.
ما هو الفضاء الجزئي الثابت؟
الآن نحن نعرف الشخصية الرئيسية. ولكن ماذا عن مشكلة الفضاء الجزئي الثابت نفسها؟
إذا سبق لك أن درست دورة جامعية في السنة الأولى في الجبر الخطي ، فستصادف أشياء تسمى المتجهات والمصفوفات والمتجهات الذاتية. إذا لم تكن قد فعلت ذلك ، فيمكننا التفكير في المتجه كسهم بطول واتجاه ، يعيش في مساحة متجهية معينة. (هناك الكثير من المساحات المتجهة المختلفة بأعداد مختلفة من الأبعاد والقواعد المختلفة.)
اقرأ أكثر: المفسر: نقطة الرياضيات البحتة
المصفوفة هي شيء يمكن أن يحول متجهًا ، عن طريق تغيير اتجاه و / أو طول الخط. إذا قامت مصفوفة معينة بتحويل طول متجه معين فقط (بمعنى أن الاتجاه إما هو نفسه أو مقلوب في الاتجاه المعاكس) ، فإننا نطلق على المتجه المتجه الذاتي للمصفوفة.
هناك طريقة أخرى للتفكير في هذا وهي القول إن المصفوفة تحوّل المتجهات الذاتية (وأي خطوط موازية لها) إلى نفسها مرة أخرى: هذه الخطوط ثابتة في هذه المصفوفة. إذا أخذناها معًا ، فإننا نطلق على هذه الأسطر مساحات فرعية ثابتة من المصفوفة.
المتجهات الذاتية والفراغات الفرعية الثابتة هي أيضًا ذات أهمية تتجاوز الرياضيات فقط – لنأخذ مثالاً واحدًا ، قيل أن Google تدين بنجاحها إلى “eigenvector بقيمة 25 مليار دولار”.
ماذا عن المساحات ذات عدد لا نهائي من الأبعاد؟
إذن هذا فضاء فرعي ثابت. تعد مشكلة الفضاء الجزئي الثابت أكثر تعقيدًا بعض الشيء: إنها تتعلق بالمسافات ذات عدد لا نهائي من الأبعاد ، وتتساءل عما إذا كان كل عامل خطي (ما يعادل مصفوفة) في تلك المساحات يجب أن يحتوي على فضاء فرعي ثابت.
بتعبير أدق (تمسك بقبعتك): تسأل مشكلة الفضاء الجزئي الثابت عما إذا كان كل عامل تشغيل خطي محدد T في مساحة Banach المعقدة X يعترف بالفراغ الجزئي الثابت غير التافه M من X ، بمعنى أن هناك فضاء جزئي M ≠ {0} ، X من X بحيث يتم احتواء T (M) مرة أخرى في M.
وبهذه الطريقة ، طُرحت مشكلة الفضاء الجزئي الثابتة خلال منتصف القرن الماضي ، واستعصت على جميع المحاولات للتوصل إلى حل.
اقرأ أكثر: انتقام فيثاغورس: لم يخترع البشر الرياضيات ، إنها ما صنع العالم
ولكن كما هو الحال غالبًا عندما لا يتمكن علماء الرياضيات من حل مشكلة ما ، فإننا ننقل نقاط المرمى. قام علماء الرياضيات الذين يعملون على هذه المشكلة بتضييق نطاق تركيزهم عن طريق حصر المشكلة في فئات معينة من المساحات والمشغلين.
تم تحقيق الاختراق الأول بواسطة Enflo في السبعينيات (على الرغم من عدم نشر نتائجه حتى عام 1987). لقد أجاب عن المشكلة في الجانب السلبي ، من خلال إنشاء عامل على فضاء Banach بدون فضاء جزئي ثابت غير تافه.
ما الجديد في هذا الحل الجديد المقترح؟
إذن ما هو الوضع الحالي لمشكلة الفضاء الجزئي الثابت؟ إذا قام Enflo بحلها في عام 1987 ، فلماذا قام بحلها مرة أخرى؟
حسنًا ، حسم Enflo مشكلة مساحات Banach بشكل عام. ومع ذلك ، هناك نوع مهم بشكل خاص من فضاء باناخ يسمى فضاء هيلبرت ، والذي يتمتع بحس قوي للهندسة ويستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والاقتصاد والرياضيات التطبيقية.
كان حل مشكلة الفضاء الجزئي الثابت للمشغلين في مساحات هيلبرت أمرًا صعبًا للغاية ، وهذا ما تدعي Enflo أنه حققه.
هذه المرة يجيب Enflo بالإيجاب: تجادل ورقته البحثية بأن كل عامل خطي محدد في مساحة هيلبرت يحتوي على فضاء جزئي ثابت.
مراجعة الخبراء لم يأت بعد
لم أعمل من خلال سطر ما قبل الطباعة في Enflo بسطر. وبحسب ما ورد ، فإن Enflo نفسه حذر بشأن الحل ، حيث لم تتم مراجعته من قبل الخبراء بعد.
استغرقت مراجعة النظراء لإثبات Enflo السابق ، لمساحات Banach بشكل عام ، عدة سنوات. ومع ذلك ، فقد وصلت هذه الورقة إلى أكثر من 100 صفحة ، لذا يجب أن تكون مراجعة 13 صفحة من الورقة الجديدة أسرع بكثير.
إذا كان هذا صحيحًا ، فسيكون إنجازًا رائعًا ، خاصة بالنسبة لشخص حقق بالفعل العديد من الإنجازات الرائعة خلال فترة زمنية طويلة. لقد أحدثت مساهمات إنفلو العديدة في الرياضيات ، وإجاباته على العديد من المشكلات المفتوحة ، تأثيرًا كبيرًا على هذا المجال ، وولدت تقنيات وأفكارًا جديدة.
إنني أتطلع إلى معرفة ما إذا كان عمل Enflo يغلق الآن الكتاب حول مشكلة الفضاء الجزئي الثابت ، ولرؤية الرياضيات الجديدة التي قد تنبثق من نهايتها.
تم إعادة نشر هذه المقالة من المحادثة بموجب رخصة المشاع الإبداعي. إقرأ ال المقالة الأصلية.
تابع جميع قضايا ومناقشات أصوات الخبراء – وكن جزءًا من المناقشة – على Facebook و Twitter. الآراء المعبر عنها هي آراء المؤلف ولا تعكس بالضرورة آراء الناشر. تابعنا على تويتر تضمين التغريدة أو على فيسبوك.