لقد تدافعت عن مكعب روبيك ، والآن تريد أن تضعه في الترتيب. ما تسلسل التحركات التي يجب أن تقوم بها؟
مفاجأة: يمكنك الإجابة على هذا السؤال بالجبر الحديث.
سيكون معظم الأشخاص الذين مروا بدورات الرياضيات في المدارس الثانوية قد أخذوا فصلًا يسمى Algebra – ربما حتى سلسلة من الفصول التي تسمى Algebra I و Algebra II التي طلبت منك حلها x. قد تثير كلمة “الجبر” ذكريات معادلات متعددة الحدود معقدة مثل الفأس + BX + ج = 0 أو مخططات وظائف متعددة الحدود مثل ذ = الفأس + BX + ج.
قد تتذكر التعرف على الصيغة التربيعية لمعرفة حلول هذه المعادلات والعثور على مكان عبور المؤامرة x-المحور أيضًا.
![رسم بياني للمعادلة التربيعية وجذورها عبر الصيغة التربيعية. <a href = "https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/roots_of_a_quadratic_function_via_the_quadratic_formula.png" rel = "nofloll noOpener" target = "_ blank" data- rus ؛ elm: context_link ؛ itc: 0 ؛ sec: content-canvas "class =" link "> jacob rus </a> ، <a href =" http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ "rel =" nofloll noopener "target = by-sa ؛ elm: context_link ؛ itc: 0 ؛ sec: content-canvas "class =" link "> cc by-sa </a>‘ loading=”lazy” width=”960″ height=”841″ decoding=”async” data-nimg=”1″ class=”rounded-lg” style=”color:transparent” src=”https://s.yimg.com/ny/api/res/1.2/BIUj3k75aZrh9rGjQNDDgg–/YXBwaWQ9aGlnaGxhbmRlcjt3PTk2MDtoPTg0MQ–/https://media.zenfs.com/en/the_conversation_us_articles_815/46f33faf11f3bf7831555ca7578fe92d”><button aria-label="View larger image" class="group absolute bottom-3 right-3 size-10 md:size-[50px] lg:inset-0 lg:size-full lg:bg-transparent" data-ylk="elm:expand;itc:1;sec:image-lightbox;slk:lightbox-open;"><span class="absolute bottom-0 right-0 rounded-full bg-white p-3 opacity-100 shadow-elevation-3 transition-opacity duration-300 group-hover:block group-hover:opacity-100 md:p-[17px] lg:bottom-6 lg:right-6 lg:bg-white/90 lg:p-5 lg:opacity-0 lg:shadow-none"><svg viewbox="0 0 22 22" aria-hidden="true" class="size-4 lg:size-6" width="22" height="22"><path d="M12.372.92c0-.506.41-.916.915-.916L21 0l-.004 7.712a.917.917 0 0 1-1.832 0V3.183l-6.827 6.828-1.349-1.348 6.828-6.828h-4.529a.915.915 0 0 1-.915-.915M1.835 17.816l6.828-6.828 1.349 1.349-6.829 6.827h4.529a.915.915 0 0 1 0 1.831L0 21l.004-7.713a.916.916 0 0 1 1.831 0z"></path></svg></span></button><dialog aria-label="Modal Dialog" aria-modal="true" class="fixed inset-0 z-4 size-full max-h-none max-w-none bg-white hidden"></dialog></div><figcaption class="relative text-sm mt-1 pr-2.5">
<div style="max-height:none;overflow:visible">رسم بياني للمعادلة التربيعية وجذورها عبر الصيغة التربيعية. يعقوب روس ، CC BY-SA</div>
</figcaption></figure>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">المعادلات والمؤامرات مثل هذه جزء من الجبر ، لكنها ليست القصة بأكملها. ما يوحد الجبر هو ممارسة دراسة الأشياء – مثل التحركات التي يمكنك القيام بها على مكعب Rubik أو الأرقام الموجودة على مدار الساعة التي تستخدمها لمعرفة الوقت – والطريقة التي تتصرف بها عندما تضعها معًا بطرق مختلفة. ماذا يحدث عندما تقوم بتوصيل مكعب Rubik معًا أو يضيف أرقامًا على مدار الساعة؟</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">في عملي كعالم رياضي ، تعلمت أن العديد من أسئلة الجبر تأتي لتصنيف الأشياء من خلال أوجه التشابه بينها.</p>
<h2 class="mb-4 text-xl font-bold md:text-2xl">مجموعات ومجموعات</h2>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">كيف مثل المعادلات <em>الفأس</em> + <em>BX</em> + <em>ج</em> = 0 وحلولهم تؤدي إلى الجبر التجريدي؟</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">النسخة القصيرة من القصة هي أن علماء الرياضيات عثروا على صيغ تشبه إلى حد كبير الصيغة التربيعية للمعادلات متعددة الحدود حيث أعلى قوة <em>x</em> كان ثلاثة أو أربعة. لكنهم لم يتمكنوا من فعل ذلك لمدة خمسة. استغرق الأمر من عالم الرياضيات évariste galois والتقنيات التي طورها – التي تسمى الآن نظرية المجموعة – لجعل حجة مقنعة مفادها أنه لا توجد صيغة من هذا القبيل للعديد من الحدود التي يتمتع بأعلى قوة من خمسة أو أكثر.</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">إذن ما هي المجموعة ، على أي حال؟</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">يبدأ بمجموعة ، وهي مجموعة من الأشياء. وعاء الفاكهة في مطبخي عبارة عن مجموعة ، ومجموعة من الأشياء الموجودة فيه هي قطع من الفاكهة. الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 و 10 و 11 و 12 تشكل أيضًا مجموعة. لا تملك مجموعات من تلقاء نفسها الكثير من الخصائص – أي الخصائص – ولكن إذا بدأنا في فعل الأشياء للأرقام من 1 إلى 12 ، أو الفاكهة في وعاء الفاكهة ، فإنها تصبح أكثر إثارة للاهتمام.</p>
<figure class="relative mb-4">
<div class="relative"></div><figcaption class="relative text-sm mt-1 pr-2.5"></figcaption></figure>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">دعنا نسمي هذه المجموعة من الأرقام من 1 إلى 12 “أرقام الساعة”. بعد ذلك ، يمكننا تحديد وظيفة إضافة لأرقام الساعة باستخدام الطريقة التي نقول بها الوقت. وهذا يعني ، أن نقول “3 + 11 = 2” هو الطريقة التي نضيف بها 3 و 11. إنه شعور غريب ، ولكن إذا فكرت في الأمر ، فإن 11 ساعة الماضية هي الساعة الثانية.</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">الإضافة على مدار الساعة لها بعض الخصائص الرائعة. يرضي:</p>
<ul class="mb-4">
<li class="ml-4 list-disc">
<div class="">
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words"><em>إنهاء</em>، حيث يمنحك إضافة الأشياء في المجموعة شيئًا آخر في المجموعة ،</p>
</div>
</li>
<li class="ml-4 list-disc">
<div class="">
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words"><em>هوية</em>، حيث يوجد عنصر لا يغير قيمة العناصر الأخرى في المجموعة عند إضافته – إضافة 12 إلى أي رقم سوف يساوي نفس الرقم ،</p>
</div>
</li>
<li class="ml-4 list-disc">
<div class="">
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words"><em>الارتباط</em>، حيث يمكنك إضافة أينما تريد في المجموعة ،</p>
</div>
</li>
<li class="ml-4 list-disc">
<div class="">
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words"><em>الانتهاك</em>، حيث يمكنك التراجع عن ما يفعله العنصر ، و</p>
</div>
</li>
<li class="ml-4 list-disc">
<div class="">
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words"><em>التنقل</em>، حيث يمكنك تغيير ترتيب أرقام الساعة التي تضيفها دون تغيير النتيجة: <em>أ</em> + <em>ب</em> = <em>ب</em> + <em>أ</em>.</p>
</div>
</li>
</ul>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">من خلال إرضاء كل هذه الخصائص ، يمكن لعلماء الرياضيات النظر في أرقام الساعة مع إضافة مجموعة على مدار الساعة. باختصار ، المجموعة هي مجموعة مع بعض الطرق للجمع بين العناصر ذات الطبقات في الأعلى. ربما لا يمكن تحويل مجموعة الفاكهة في وعاء الفاكهة إلى مجموعة بسهولة – ما هو الموز بالإضافة إلى تفاحة؟ ولكن يمكننا عمل مجموعة من أرقام الساعة في مجموعة من خلال إظهار أن إضافة الساعة هي وسيلة لأخذ رقمين على مدار الساعة والوصول إلى واحدة جديدة تفي بالقواعد الموضحة أعلاه.</p>
<h2 class="mb-4 text-xl font-bold md:text-2xl">الخواتم والحقول</h2>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">جنبا إلى جنب مع المجموعات ، فإن النوعين الأساسيين الآخرين من الأشياء الجبرية اللذين ستدرسهما في مقدمة للجبر الحديث هما الحلقات والحقول.</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">يمكننا تقديم عملية ثانية لأرقام الساعة: مضاعفة الساعة ، حيث 2 مرات 7 هي 2 ، لأن الساعة 14 هي نفسها الساعة الثانية. مع إضافة الساعة وتكاثر الساعة ، تلبي أرقام الساعة معايير ما يسميه علماء الرياضيات حلقة. هذا يرجع في المقام الأول لأن تكاثر الساعة وإضافة الساعة معًا يرضي مكونًا رئيسيًا يحدد الحلقة: خاصية التوزيع ، حيث <em>أ</em>((<em>ب</em> + <em>ج</em>) = <em>أب</em> + <em>AC</em>. أخيرًا ، الحقول هي حلقات ترضي المزيد من الظروف.</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">في مطلع القرن العشرين ، عملت علماء الرياضيات ديفيد هيلبرت وإيمي نويث – الذين كانوا مهتمين بفهم كيف عملت مبادئ النسبية في آينشتاين رياضياً – الجبر الموحد وأظهروا فائدة دراسة المجموعات والخواتم والحقول.</p>
<h2 class="mb-4 text-xl font-bold md:text-2xl">كل شيء ممتع وألعاب حتى تقوم بالرياضيات</h2>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">المجموعات والحلقات والحقول مجردة ، ولكن لديها العديد من التطبيقات المفيدة.</p>
<p class="mb-4 text-lg md:leading-8 break-words">على سبيل المثال ، يتم تصنيف التماثلات للهياكل الجزيئية بواسطة مجموعات نقاط مختلفة. تصف مجموعة النقاط طرقًا لتحريك جزيء في الفضاء بحيث حتى لو قمت بنقل الذرات الفردية ، فإن النتيجة النهائية لا يمكن تمييزها عن الجزيء الذي بدأت به.</p>
<figure class="relative mb-4">
<div class="relative"><img alt="جزيئان ماءان مع ذرات الهيدروجين المسمى H_1 و H_2 أماكن التبادل" width="960" height="599" decoding="async" data-nimg="1" class="rounded-lg lazy" style="color:transparent" src="data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=](https://almagala.com/wp-content/uploads/2025/05/acdccf9a586af950cdb1ff12d77b1a52.png)
ولكن دعونا نأخذ مثالًا مختلفًا يستخدم الحلقات بدلاً من المجموعات. يمكنك إعداد مجموعة معقدة جدًا من المعادلات لوصف لغز Sudoku: تحتاج إلى 81 متغيرًا لتمثيل كل مكان ، يمكنك وضع رقم في الشبكة ، وتعبيرات متعدد الحدود لترميز قواعد اللعبة ، والتعبيرات المتعددة الحدود التي تأخذ في الاعتبار القرائن الموجودة بالفعل على السبورة.
للحصول على المساحات على لوحة اللعبة ومتغيرات 81 لتتوافق بشكل جيد ، يمكنك استخدام اثنين من المشتركين لربط المتغير بمكان معين على اللوحة ، مثل استخدام x₃₅ لتمثيل الخلية في الصف الثالث والعمود الخامس.
يجب أن يكون الإدخال الأول أحد الأرقام من 1 إلى 9 ، ونمثل تلك العلاقة مع (x₁₁ – 1) (x₁₁ – 2) (x₁₁ – 3) ⋅⋅ (x₁₁ – 9). هذا التعبير يساوي الصفر إذا وفقط إذا اتبعت قواعد اللعبة. نظرًا لأن كل مساحة على اللوحة تتبع هذه القاعدة ، فهذه بالفعل 81 معادلة فقط لتقول: “لا توصيل بأي شيء آخر غير 1 إلى 9.”
يمكن التقاط القاعدة “من 1 إلى 9 كل منها مرة واحدة في الصف العلوي” مع بعض القطع المتسللة من التفكير الجبري. سوف يضيف مجموع الصف العلوي ما يصل إلى 45 ، أي x₁₁ + x₁₂ + ⋅⋅ + x₁₉ – سيكون 45 صفرًا ، وسيكون منتج الصف العلوي هو نتاج من 1 إلى 9 ، أي x₁₁ x₁₂ ⋅⋅ x₁₉ – 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 سيكون صفر.
إذا كنت تفكر في أن الأمر يستغرق وقتًا أطول لإعداد كل هذه القواعد أكثر مما يستغرق حل اللغز ، فأنت لست مخطئًا.
تحويل سودوكو إلى الجبر يأخذ القليل من العمل. كورتني جيبونز
ما الذي نحصل عليه من خلال القيام بهذه الترجمة المعقدة إلى الجبر؟ حسنًا ، نستخدم خوارزميات أواخر القرن العشرين لمعرفة الأرقام التي يمكنك توصيلها بالوحة التي تلبي جميع القواعد وجميع القرائن. تعتمد هذه الخوارزميات على وصف بنية الحلقة الخاصة – تسمى مثالية – تجعل أدلة لوحة اللعبة هذه داخل الحلقة الأكبر. سوف تخبرك الخوارزميات ما إذا لم يكن هناك حل للغز. إذا كانت هناك حلول متعددة ، فستجد الخوارزميات جميعها.
هذا مثال صغير حيث يكون إعداد الجبر أصعب من مجرد القيام بلغز. لكن التقنيات تعميم على نطاق واسع. يمكنك استخدام الجبر لمعالجة المشكلات في الذكاء الاصطناعي ، والروبوتات ، والتشفير ، والحوسبة الكمومية وأكثر من ذلك بكثير – كل ذلك مع نفس حقيبة الحيل التي تستخدمها لحل لغز سودوكو أو مكعب روبيك.
يتم إعادة نشر هذه المقالة من المحادثة ، وهي مؤسسة إخبارية مستقلة غير ربحية تجلب لك الحقائق والتحليلات الجديرة بالثقة لمساعدتك على فهم عالمنا المعقد. كتبه: كورتني جيبونز ، كلية هاميلتون
اقرأ المزيد:
كورتني جيبونز تابعة لجمعية المرأة في الرياضيات والجمعية الرياضية الأمريكية.